La figura revela un fenómeno de transición importante: el par de líneas excepcionales de orden tres (EL3) pueden pasar a una línea de intersección no defectuosa (NIL) y una línea nodal (NL) a través del punto de encuentro (MP). Esto se debe a que el bucle lα que rodea a las EL3 dobles lleva la misma invariante topológica que lβ que rodea a NIL y NL juntos. Por lo tanto, podemos entender que la transición está protegida topológicamente. Crédito: Hu et al.
Investigadores de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong, la Universidad de Xiangtan y la Universidad de Ciencia y Tecnología del Sur revelaron recientemente una posible conexión entre la teoría de catástrofes, un área de las matemáticas que se enfoca en modelar cambios repentinos (es decir, catástrofes) y la física no hermítica. Su trabajo, publicado en Física de la naturalezamuestra específicamente que una degeneración estructuralmente rica, conocida como la catástrofe de la cola de golondrina, puede existir naturalmente en sistemas no hermitianos.
«Nuestro trabajo se inspiró en investigaciones anteriores que utilizaron la teoría de la homotopía para clasificar singularidades topológicas, una técnica que se ha utilizado para estudiar defectos en cristales líquidos como disclinaciones y dislocaciones», dijo Hongwei Jia, uno de los investigadores que llevó a cabo el estudio. Phys.org. «La teoría de la homotopía también se ha aplicado en la teoría de bandas para investigar la topología de banda no abeliana. Sobre la base de estos trabajos anteriores, buscamos ampliar el enfoque para comprender las singularidades (manifestadas como degeneraciones llamadas puntos excepcionales) en los sistemas no hermitianos».
Esencialmente, Jia, Chan y sus colegas se propusieron aplicar el concepto de rotación de marco de vector propio a lo largo de un bucle que rodea una singularidad (es decir, el punto en el que una función «salta» o «colapsa») a sistemas no hermitianos. Mientras que en otros estudios recientes sobre sistemas hermitianos, los vectores propios eran reales y ortogonales, formando la base ortonormal de un espacio euclidiano, aplicar esta rotación de marco de vectores propios a sistemas no hermitianos plantea una serie de desafíos.
«En estos sistemas no hermitianos, los vectores propios no son ortogonales, porque la relación ortogonal de los vectores propios está definida por un producto interno indefinido de tipo Minkowski. Por lo tanto, a lo largo de un camino cerrado, el marco del vector propio no solo gira sino que también se deforma. En particular, cuando el camino encuentra superficies excepcionales, los vectores propios se unen», explicó Jia.
«Esto plantea un problema grave porque los bucles homotópicos convencionales nunca atraviesan las degeneraciones. Pero esto no se puede evitar en nuestro caso, porque las líneas de degeneración consideradas están completamente incrustadas en superficies excepcionales. Al abordar estas dificultades matemáticamente desafiantes, buscamos la ayuda del matemático. Yifei Zhu. Esta colaboración entre físicos y matemáticos dio como resultado nuevos conocimientos sobre las propiedades topológicas de las singularidades en sistemas no hermitianos».
En colaboración con Zhu, Jia, Chan y sus colegas se propusieron explorar la aparición de degeneraciones, denominadas superficies excepcionales, singularidades aisladas y no aisladas, en sistemas no hermitianos, y la dependencia de estas degeneraciones de la simetría. Para lograr esto, rastrearon los ceros en el discriminante del polinomio característico de las matrices hamiltonianas bajo simetrías específicas en el espacio de parámetros.
«Llevamos a cabo muchos experimentos matemáticos utilizando diversas herramientas, como software matemático, modelos en papel e impresión 3D», dijo Jia. «Al analizar ejemplos explícitos de hamiltonianos con simetrías específicas, descubrimos que la ocurrencia de esta característica de singularidad es universal en sistemas no hermitianos con nuestras simetrías elegidas. También demostramos que puede haber líneas excepcionales de orden tres (EL3) en las cúspides de superficies excepcionales, líneas de intersección no defectuosas (NIL) donde las superficies excepcionales se cruzan transversalmente, y líneas nodales (NL) aisladas de superficies excepcionales».
Los experimentos y cálculos realizados por Jia y sus colegas arrojaron varios hallazgos interesantes. En primer lugar, el equipo descubrió que las distintas líneas de degeneración que observaron siempre pueden estar conectadas de manera estable en un único punto de encuentro y que esta estructura única está protegida por simetría.
En esta figura podemos encontrar que se trata de una estructura combinada de cuatro colas de golondrina. Se puede formar una estructura tan interesante porque un bucle que rodea dos líneas nodales (NL) es topológicamente equivalente a un bucle que rodea cuatro líneas excepcionales de orden tres (EL3). Esto no se puede demostrar actualmente, y se necesita una herramienta matemática más potente para realizar esta tarea. Crédito: Hu et al.
«Observamos que las superficies excepcionales se cruzan en una configuración de cola de golondrina, que recuerda a la catástrofe de la cola de golondrina en matemáticas y teoría de catástrofes (específicamente en la clasificación ADE)», dijo Jia. «Sin embargo, existen diferencias notables entre nuestro caso y la catástrofe de la cola de golondrina en la clasificación ADE, ya que esta última se describe al examinar el lugar geométrico de múltiples raíces de un polinomio cuártico, mientras que el nuestro surge de las simetrías que estamos estudiando que codifican la información de las evoluciones de los vectores propios. »
El trabajo reciente de este equipo de investigadores establece una conexión entre la teoría matemática de las catástrofes y la física no hermítica, dos áreas de estudio que antes se percibían como no relacionadas. Utilizando métodos homotópicos, el equipo intentó obtener una comprensión topológica de singularidades no aisladas en sistemas no hermitianos.
Jia y sus colegas finalmente revelaron varias transiciones nuevas e interesantes que ocurren dentro de la estructura de cola de golondrina de la catástrofe que observaron. En particular, estos fenómenos de transición contrarios a la intuición están protegidos de formas que investigaciones anteriores aún no habían identificado.
«Este trabajo es el resultado de una colaboración entre mí y el físico Che Ting Chan y el matemático Yifei Zhu», dijo Jia. «La introducción de la teoría de la homotopía de intersección por parte de Yifei es crucial para resolver el problema. Combinamos nuestra teoría de la deformación y rotación del marco propio con la homotopía de intersección, y demostramos con éxito que el interesante fenómeno de transición en una cola de golondrina está protegido topológicamente. Creemos que puede haber habrá otros fenómenos físicos interesantes por descubrir en estas plataformas. Nuestro conocimiento complementario nos permitirá explorar más a fondo esta área de investigación inexplorada».
La catástrofe de cola de golondrina que Jia y sus colegas observaron en bandas no hermitianas es un tipo completamente nuevo de fase topológica sin espacios. Exámenes adicionales de esta fase podrían potencialmente revelar nuevos fenómenos y efectos físicos. Los investigadores ahora están realizando estudios que se centran en dos fenómenos intrigantes, el primero de los cuales es la correspondencia de borde a granel en este nuevo tipo de fase sin espacios.
«Estamos explorando si las fases sin espacios inherentes a una estructura de cola de golondrina también pueden admitir estados de borde topológicos», dijo Jia. «El segundo fenómeno que estamos explorando es el arco de Fermi a granel no convencional que une el par de líneas excepcionales de orden tres en cúspides emparejadas».
Además de informar futuros estudios de física, los hallazgos recopilados por este equipo de investigadores podrían conducir a nuevas investigaciones en el campo de las matemáticas. Jia y sus colegas sienten que el componente matemático de su trabajo aún es ad hoc e incompleto, y planean desarrollarlo más en sus próximos trabajos.
«En teoría, a pesar de que los objetos de estudio ya se pueden formular de forma puramente matemática (en la clasificación ADE), esta formulación solo brinda una estructura aparentemente comparable, mientras que las características subyacentes son bastante diferentes del caso actual», explicó Jia. «Por ejemplo, el punto de encuentro de la cola de golondrina en la clasificación ADE es un punto excepcional de orden cuatro, pero el de la cola de golondrina actual es una degeneración triple que proporciona dos estados propios linealmente independientes.
«Sería un verdadero desafío y una oportunidad obtener estructuras matemáticamente sistemáticas, físicamente significativas y realizables experimentalmente debajo de esta punta de iceberg. También creemos que el método algebraico, intersección homotopía/homología, debe desarrollarse aún más, porque es una herramienta poderosa para comprender este tipo de singularidades no aisladas tanto en física como en matemáticas».
Más información:
Jing Hu et al, Catástrofe de cola de golondrina no hermitiana que revela transiciones entre diversas singularidades topológicas, Física de la naturaleza (2023). DOI: 10.1038/s41567-023-02048-w
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Citación: El estudio revela la existencia de la catástrofe de la cola de golondrina en sistemas no hermitianos (19 de junio de 2023) consultado el 19 de junio de 2023 en https://phys.org/news/2023-06-reveals-swallowtail-catastrophe-non-hermitian.html
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