Szapucki fue originalmente una selección de quinta ronda de los Mets en el Draft amateur de la MLB de 2015 al salir de la escuela secundaria, y decidió firmar con el equipo en lugar de asistir a la Universidad de Florida.
Apareció en solo un juego de Grandes Ligas, permitiendo seis carreras limpias sobre 3.2 IP el 30 de junio de 2021 contra los Bravos de Atlanta. Szapucki permitió dos jonrones en siete hits, ponchó a cuatro bateadores y caminó a tres en 82 lanzamientos.
Durante cinco temporadas en las menores, Szapucki tiene marca de 6-12 con efectividad de 2.80 sobre 186.2 IP en 49 juegos (42 aperturas). Tiene 229 ponches en su carrera en las menores y ha permitido 146 hits y 84 bases por bolas.